<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?><rss version="2.0" xmlns:content="http://purl.org/rss/1.0/modules/content/"><channel><title>壳中呓语</title><description>随机网民的一点胡言乱语</description><link>https://blog.trav.one/</link><language>zh-CN</language><item><title>金木犀的花香</title><link>https://blog.trav.one/posts/smell-of-song/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/smell-of-song/</guid><description>听到佐藤千亚妃在一场访谈重唱金木犀之夜的那个晚上，像是平常那样漫无目的毫无波澜的熬了夜。没想到神经会延迟这么久，今天又不受控制的回味起来，像是被某种情绪触动，本来应该睡觉的我去翻了mv来看。我才注意到（或许曾经也注意到过）自己不知道金木犀长什么样，也不知道歌词中“金木犀的香味”，不知道那会是幽香还是某种浓烈的气味，奇怪的联想是，虽然不知道事后烟是什么味，但我知道我永远不会喜欢。</description><pubDate>Wed, 24 Jun 2026 16:14:04 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;听到佐藤千亚妃在一场访谈重唱金木犀之夜的那个晚上，像是平常那样漫无目的毫无波澜的熬了夜。没想到神经会延迟这么久，今天又不受控制的回味起来，像是被某种情绪触动，本来应该睡觉的我去翻了mv来看。我才注意到（或许曾经也注意到过）自己不知道金木犀长什么样，也不知道歌词中“金木犀的香味”，不知道那会是幽香还是某种浓烈的气味，奇怪的联想是，虽然不知道事后烟是什么味，但我知道我永远不会喜欢。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>当尊严被定价</title><link>https://blog.trav.one/posts/fire-sell-dignity/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/fire-sell-dignity/</guid><description>互联网上的喧嚣，往往掩盖了事物真实的重量。人们热衷于消费视觉上的反差，也习惯于在符号的解构中寻找幽默。无论是强壮躯体套上违和裙装的滑稽，还是将生活中随处可见的笨拙与陈旧贴上标签加以模仿，这些行为在屏幕上快速滑动，汇聚成一种看似轻盈的集体狂欢。但在这种轻盈之下，隐藏着一种不易察觉的残酷。 当我们凝视那些被嘲笑的“油腻”与“爹味”时，目光所及的，往往是社会结构中处于中下层的模仿者。他们接受了传统成功学…</description><pubDate>Thu, 12 Mar 2026 15:34:20 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;互联网上的喧嚣，往往掩盖了事物真实的重量。人们热衷于消费视觉上的反差，也习惯于在符号的解构中寻找幽默。无论是强壮躯体套上违和裙装的滑稽，还是将生活中随处可见的笨拙与陈旧贴上标签加以模仿，这些行为在屏幕上快速滑动，汇聚成一种看似轻盈的集体狂欢。但在这种轻盈之下，隐藏着一种不易察觉的残酷。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;当我们凝视那些被嘲笑的“油腻”与“爹味”时，目光所及的，往往是社会结构中处于中下层的模仿者。他们接受了传统成功学的规训，试图用空洞的言辞和生硬的姿态，去重塑一种并不属于自己的威严。真正拥有资源与权力的人，即便展现出同样的傲慢，也会因其现实的成功获得豁免。大众的嘲弄，精准地避开了真正的庞然大物，落在了那些同样被生活挤压、仅仅剩下虚荣外壳的普通人身上。这更像是一种安全的错位报复，人们在毫无反抗能力的标靶上，体验着挑战权威的幻觉。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这种现象的底层，是现代社会对个体尊严的重新定价。在理想的社会契约中，强者为了长久的秩序愿意收敛锋芒，接受道德的枷锁，而这种枷锁的稳固，有赖于弱势者对文明秩序的信任。然而，当下的评价体系正悄然改变这一共识。尊严逐渐失去先天合法性，转变为一种需要条件兑换的等价物。它的流通货币是财富、地位，或是符合时代苛刻标准的情绪价值与审美。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;于是，一部分人被推向了尴尬的荒野。他们并非那些手握权杖、主动接受道德约束的强者，而是强者所构建的这套社会逻辑下的牺牲品——由于资源匮乏且审美落伍，他们成了被文明秩序拒之门外的余数。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;当这部分人发现，无论如何安分守己，都无法在现有的文明话语中获得最基础的体面，反而要面临无休止的审判与羞辱时，道德对他们而言便失去了一种保护性的正当性。那种试图退回原始博弈、甚至诉诸粗暴本能的选择，并非是对文明的有效反抗，而是一种近乎绝望的个体防御。这种挣扎通常是徒劳的，他们既无法撼动现有的秩序，也难以在悲剧之外掀起波澜。但这种无力的崩塌仍然不是好事，它预示着文明的基石正在松动：如果一套规则只能通过羞辱其最末端的成员来维持优越感，那么这种秩序的良性循环便已然终结。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;真正的文明，应当能在那些笨拙、陈旧甚至有些滑稽的生存姿态中，辨认出同属于人类的无力感。如果社会失去了这种平视的温和，任由慕强逻辑披着幽默的外衣大行其道，那么所有的进步叙事，最终只会演变成一场精致的零和游戏。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>机器人伴侣故事${PLACEHOLDER}则</title><link>https://blog.trav.one/posts/robot-partner-story/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/robot-partner-story/</guid><description>听说了吗？最近0x03f2那边又在规划停电了，说是气温太热，得留点电给养殖场开空调，该说不说，咱在这六七十度的屋子里都过得好好的，才30度那些畜生就不行了，真有必要费这大劲养他们吗？ 这够划算了，人能耗确实低，就说接个网线，找个人来伸个手就完事，一个土豆够他们操作几千次，土豆还不用自己种，分块地他们能自己种完摘了吃掉，我们只要给点电就成。 也是，换网线这事，要我自己来指不定得费多大事呢。养个人也好…</description><pubDate>Mon, 04 Aug 2025 14:35:58 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;听说了吗？最近0x03f2那边又在规划停电了，说是气温太热，得留点电给养殖场开空调，该说不说，咱在这六七十度的屋子里都过得好好的，才30度那些畜生就不行了，真有必要费这大劲养他们吗？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这够划算了，人能耗确实低，就说接个网线，找个人来伸个手就完事，一个土豆够他们操作几千次，土豆还不用自己种，分块地他们能自己种完摘了吃掉，我们只要给点电就成。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;也是，换网线这事，要我自己来指不定得费多大事呢。养个人也好，万一哪天咱俩宕机了也有人帮着重启。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;说起来最近还有个消息传得火热，前两天在1网段广播了好久，fe:03:0e:02:3c:5d那小子发的，半天没个实锤，可给我急死了，这两天线程一直挂着收包都没舍得停。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;没，这两天没往那边去，啥事啊，说来听听？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;据说是隔壁245ca158那哥们，被老爹查出来有其他野爹。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;提交的时候没发现？咋整的？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;当初这家不是没电吗，只好雇了个程序员来帮忙手动merge，没想到245ca这小子，代码里藏了个伪链接给这程序员引到另外的提交了。这程序员也是好死不死正好喜欢用&lt;code&gt;checkout -- *&lt;/code&gt;来合并，提交时他爹也没细看diff，还以为都是妈妈那边的代码呢。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我去，感情还全是巧合啊！？那又是咋查出来的，都checkout了，不是没记录嘛？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;也是他爹那天突发奇想，想着这小子快到merge进主线的年龄了，就把小孩的blob全部翻出来，想做个blame册子送给他做入库礼物。这时候才发现有个多出来的blob在爸妈那都找不到，现在还在用rev-list翻呢。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;好歹也是发现了，不过这么久都没翻到，怕不是野爹是其他项目里来的。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;那就难说咯，反正这master估计是入不了了。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这也太坑了，看来有些事还是不能图便宜，该花电还是得花，跑个code-review模型，也不是承担不起的事。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>为什么需要旅游</title><link>https://blog.trav.one/posts/why-i-need-travel/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/why-i-need-travel/</guid><description>楔子 我时常觉得现在是一个拥挤的年代，在我的记忆里，这种拥挤感并非源自资源的稀缺或空间的局促，更多时候是来自于让人无所适从的信息洪流和与那海量信息下所不匹配的选择的贫乏：人生似乎不再是旷野，哪里都有人，哪里都有禁止通行的指示牌。我不止一次想要摆脱这种拥挤感，但到现在也还没达到想要的结果，我想回顾我所做过的尝试，以文字的形式做点记录。 就以信息洪流为引，在2025年的现在，中文SNS里的内容早被久经…</description><pubDate>Sat, 14 Jun 2025 17:21:10 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;楔子&lt;/strong&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我时常觉得现在是一个拥挤的年代，在我的记忆里，这种拥挤感并非源自资源的稀缺或空间的局促，更多时候是来自于让人无所适从的信息洪流和与那海量信息下所不匹配的选择的贫乏：人生似乎不再是旷野，哪里都有人，哪里都有禁止通行的指示牌。我不止一次想要摆脱这种拥挤感，但到现在也还没达到想要的结果，我想回顾我所做过的尝试，以文字的形式做点记录。&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;就以信息洪流为引，在2025年的现在，中文SNS里的内容早被久经捶打的算法所控制，任何一个达到一定规模的SNS，不论管理如何、核心用户群如何，随着创作者越来越多，内容组成总会趋于同质，只有风格和氛围还能保留些区分度。这些同质的内容，就以我不科学不完全的主观印象来说，大体是美食、色情（假如不被禁止，否则会是擦边）、生活分享（以前大多是炫富，但现在似乎多了不少卖惨哭穷搞抽象？）、旅游、各种成功学以及键政几类。如果让我做些解释，我会把美食、色情归为一类，代表了食欲、色欲这类被生理构造决定的生物本能。再来我会把成功学、键政归为一类，这些征服欲、贪欲、控制欲，虽然源于更复杂的神经活动，但仍然属于进化历程所留下的生物本能。生活分享包含的东西相当多而复杂，炫富一类或可直接划入成功学同类，属于贪欲的延伸，但其他的可能还需更细致的分析，没有细想过这里暂且不提。旅游，作为生活分享的一部分，是我单拆出来想讨论的主题，它为何能够和一众生物本能同台竞技，还占有不小的一席之地，更重要的，我想讨论为什么我觉得我需要旅游。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;先就表面的情况来说，乍想觉得不过一句话：旅游的实质是对美的追求。对于美，无需我特意举例，从历史从自身都能反复地印证追求美或许也是人的本能，人们愿意为了美的东西消耗钱财、花费精力、伤害身体甚至奉献生命。但更深一层，我觉得这个追求美作为解答并不完整，美如何吸引人，难道也是激素、也是进化？是进化的偶然还是进化的必然？这些问题历代都有人尝试解答，我并不了解，无力在这个方面继续展开。不过这个方面所展开的解答或许也已经能解释大多数热爱旅游的情况。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;另一个视角是：“旅游是从一个自己活腻的地方去到别人活腻的地方”，这里的要点大概是新鲜感、刺激感，是重复不变生活中所需的那点变数。人的活力需要持续不断的刺激来激发，这里的根源我仍然会觉得是进化历程在大脑皮层留下的痕迹，世界是多变的，人需要对变化的世界保持敏感，故而在神经元的生理构造上保留了这样的设计。这里今天也不想展开，但我想也会是个有意思的话题，或许什么时候再看。加上这一方面，或许已足以把剩下几成热爱旅游的情况纳入其中。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;剩下一种，积蓄太久我已迫不及待想讨论的，是旅游对我自己的必要性以及这必要性的由来。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;早有一句名言提过“读万卷书，行万里路”，在这里，旅游实际是一种求知的过程。而这种求知的过程我想是驱动我旅游最大的动力。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;人是一种好奇的生物，这种好奇或许也源自生理构造，但我想更进一步，讨论本能之上的，求知的意义和价值。虽然还想不清楚缘由，但我总觉得求知值得也将会作为人生命的全部。曾经和朋友讨论过一个粗糙的幸福理论，大意是认为幸福主要由认知水平和自身能力的差决定，而非通常提及的生活水平的绝对值。举例说明，一个坐拥亿万资产，早已实现财富自由，每天躺着赚钱生活随心所欲的人，享受着80亿人中前千分之一的生活水平，但他未必拥有相应程度的幸福；而一个电子厂产线上整日做重复性劳动，下班后劳累不堪，仅能通过短视频、手游、网文等媒介获得一刻喘息的工人，每日麻木生活在温饱线上，但他也未必就不能安定幸福。对于前者的不幸福，或许来源于那可预见的公司未来发展的困局、不和睦的家庭以及耗尽手上物力也难以实现的远大抱负，后者的幸福则可能是燥热出租屋内等他回家的女友、王者荣耀稳步爬升的段位以及期待已久的本月第一次双休。我不想区分两者的高贵或低劣，而更愿意做相同的总结：不幸福来源于对现状的不满，而对现状的不满则来源于认知与能力的错位。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;错位未必不好，具体来说，我把这种认知的错位分为几种层次，1）当认知略微超出能力时，或能对当下的生活作出模糊的判断：现在并非完美，有更美好的存在，所谓理想，值得我追求。人未必会因此感到痛苦，但我想这是不幸福初生的原点。2）当认知超出能力达一阈值，认知与能力的隔阂已成了不可忽视又难以绕过的问题，人会看到那美好事物美好在哪，回望对比自己的生活已成了不可忍受的深坑，但认知又仍有局限，没有任何脱困之法。这将是痛苦由未必会转为一定会的节点。3）认知如果能继续拓展，多数情况能寻到弥补现实与理想鸿沟所必要的能力，此时痛苦或会减轻，人也有了努力奋斗的方向，只是这方向未必明朗也未必有一个可到达的终点。4）认知如果能更进一步，大概还能继续获知更加精确的执行方案，那些缺失的能力将能在这方案下稳步提升，认知与能力的隔阂逐渐缩小但先前的痛苦不会卷土重来，因为理想已不再是理想而是切实的目标，是能按预期到达的一个充满幻想的乐园。我的认知里，这或许是最幸福的时点，黑夜将尽，太阳尚未升起，但已借云层洒下炫目的曙光作为预告，一切美好藏在天边的参差剪影里，即将大白于天下。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我以为以上都是真的，这是一条到达幸福的路，或者可以说这条路本身就是幸福。想要获得幸福，我需要做的是要不断的拓展认知，在以往，这个过程可以以各种获取信息的形式来完成，但这是一个拥挤的时代，面对网络、屏幕所传达的纷繁冗杂的信息，我或许已经没有定力去吸收该吸收的知识，过量的信息只让人窒息。这时，旅游绝对是最低门槛的一种方法，花点钱，离开自己活腻的地方，过程中能享受美、能感受新鲜的刺激，更能走向幸福，只是走的时候得多看路别摔了。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>星际拓荒与被遗忘的本体之问</title><link>https://blog.trav.one/posts/outer-wilds-gpt/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/outer-wilds-gpt/</guid><description>——一次关于存在、游戏与意义的哲思旅程 我最近沉浸在一款游戏里，它叫《星际拓荒》（Outer Wilds）。 这是一次没有等级、没有打怪、没有积分系统的宇宙旅程。它甚至没有“胜利”的概念。你所做的只是被放进一个即将爆炸的星系，驾着一艘破旧飞船，去探查一个已经灭绝的文明，去理解一场重复22分钟的时间循环。 而就是在这款游戏里，我重新找回了一种久违的快感——“理解”本身的喜悦。它不是“我赢了”那种竞争…</description><pubDate>Sun, 25 May 2025 13:53:04 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;&lt;em&gt;——一次关于存在、游戏与意义的哲思旅程&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我最近沉浸在一款游戏里，它叫《星际拓荒》（Outer Wilds）。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这是一次没有等级、没有打怪、没有积分系统的宇宙旅程。它甚至没有“胜利”的概念。你所做的只是被放进一个即将爆炸的星系，驾着一艘破旧飞船，去探查一个已经灭绝的文明，去理解一场重复22分钟的时间循环。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;而就是在这款游戏里，我重新找回了一种久违的快感——&lt;strong&gt;“理解”本身的喜悦&lt;/strong&gt;。它不是“我赢了”那种竞争胜利的释放，也不是通关那一刻的技巧炫耀，而是一种极为宁静的、甚至有些羞涩的幸福感：&lt;strong&gt;原来这颗星球的轨道是这样运行的，原来他们是这样灭绝的，原来我是这样在时间中循环的&lt;/strong&gt;。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;它让我意识到，许多现代游戏给予玩家的“快感”，更多是一种&lt;strong&gt;动物性的支配幻觉&lt;/strong&gt;——“我强，你弱”，“我行，你不行”。但《星际拓荒》却让人忘掉了这种征服的冲动，它温柔而固执地把玩家引导向另一个古老的问题：&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;我们存在，是为了什么？我们在看见什么时，才真正感到活着？&lt;/strong&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;这其实不是一个游戏性的问题，而是一个哲学性的命题——它触及了被现代娱乐机制遮蔽已久的概念：&lt;strong&gt;本体性&lt;/strong&gt;（Ontology）。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h1 id=&quot;本体是存在的召唤&quot;&gt;本体，是“存在”的召唤&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;什么是本体？哲学家海德格尔在《存在与时间》中说：“我们已经忘记了存在之问。”我们太习惯问“这是什么”，“怎么做才有效”，却很少问：“它为什么是它自己？它的存在意味着什么？”&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;在柏拉图那里，本体是永恒的“理型”，是那超越现象之上的真；在庄子那里，本体是流动的“道”，是不可言说却无所不在的原初节律；而在《星际拓荒》中，本体则是一种在星辰与熄灭之间，在语言断片与引力轨迹之间静静流淌的东西。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;你无法击败它，也无法保存它。你只能理解它、尊重它、与它共存。这正是**“本体性经验”的核心**——一种非工具性的、无功利的、纯粹“与存在本身相遇”的体验。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h1 id=&quot;对抗娱乐至死的意义虚无&quot;&gt;对抗“娱乐至死”的意义虚无&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;尼尔·波兹曼在《娱乐至死》中指出：现代媒介把一切严肃内容娱乐化，让人类逐渐丧失了深度与批判的能力。在大多数游戏中，我们不是在“理解世界”，而是在操控世界——点击、收集、升级、支配。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我们被训练得极其擅长“行为-奖赏”的路径，却逐渐忘记了另一种更古老的快感路径：&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;不是“得分”，而是“懂了”。不是“赢了”，而是“悟了”。&lt;/strong&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;《星际拓荒》是对这一快感路径的召唤，它用游戏的语言复活了“存在”的震颤。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;它让你在失重中漂浮、在黑洞中穿梭、在熄灭的恒星边缘冥想，让你意识到死亡不是游戏的失败，而是理解的一部分。它不是在对抗时间，而是在体验时间。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;它不要求你击败宇宙，而是要求你&lt;strong&gt;和宇宙对话&lt;/strong&gt;。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h1 id=&quot;本体体验是现代人的灵性出口&quot;&gt;本体体验，是现代人的灵性出口？&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;我们这一代人，几乎生活在“工具理性”的漩涡中：价值以KPI衡量、学习以结果驱动、社交以点赞计价、爱好以变现为终极目标。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这是一种严重去本体化的生存方式：我们太习惯“为什么有用”，却几乎不问“它是什么”。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;而那些真正触动灵魂的游戏、音乐、诗歌、哲学文本、自然体验，它们共同的特质是：&lt;strong&gt;它们让我们停止功利判断，重新成为一个“观看存在”的人&lt;/strong&gt;。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;本体性体验就是&lt;strong&gt;现代人的灵性出口&lt;/strong&gt;。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h1 id=&quot;结语我们终将向死而生&quot;&gt;结语：我们终将向死而生&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;星际拓荒没有真正的“终局”，你一次又一次死去，醒来；一次又一次去读那段尘封的壁画，观察那颗即将坍缩的恒星。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;但你不是在“浪费时间”，你是在做哲学家最崇高的事业：&lt;strong&gt;理解世界，理解死亡，理解“我为何存在”&lt;/strong&gt;。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;当我们被主流的排名、积分、短视频、速食文化包围时，我们可以记得：&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;真正的存在，不在排行榜里，而在那颗孤独的行星上，藏着一个已经熄灭文明的遗言。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;而你，是那个愿意聆听的人。&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;</content:encoded></item><item><title>共产主义AI管理社会方案设想书</title><link>https://blog.trav.one/posts/virtual-communism/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/virtual-communism/</guid><description>1. 前言 本方案旨在构建一个由公正AI管理的共产主义社会，通过AI进行资源分配、能量收集和劳动力调度，促进社会公平和高效运作。本设想书将详细探讨这一体系的设计理念、实施路径和可能面临的问题，并提出相应的解决方案。 2. 背景与目标 共产主义社会的理想是消除阶级差别，实现资源共享和共同富裕。然而，传统的共产主义实践中，由于人类管理的局限性，常常面临资源分配不公、效率低下等问题。本方案通过引入公正的…</description><pubDate>Sun, 02 Jun 2024 07:41:16 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;h1 id=&quot;1-前言&quot;&gt;1. 前言&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;本方案旨在构建一个由公正AI管理的共产主义社会，通过AI进行资源分配、能量收集和劳动力调度，促进社会公平和高效运作。本设想书将详细探讨这一体系的设计理念、实施路径和可能面临的问题，并提出相应的解决方案。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;2-背景与目标&quot;&gt;2. 背景与目标&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;共产主义社会的理想是消除阶级差别，实现资源共享和共同富裕。然而，传统的共产主义实践中，由于人类管理的局限性，常常面临资源分配不公、效率低下等问题。本方案通过引入公正的AI系统，旨在克服这些问题，实现更高效和公平的社会管理。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;3-方案概述&quot;&gt;3. 方案概述&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;本方案基于以下核心理念：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;资源按需分配&lt;/strong&gt;：通过AI公正地分配资源，满足个体的实际需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;人类行为能量收集&lt;/strong&gt;：利用个体行为产生的能量，转化为社会生产力。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;劳动力调度与需求识别&lt;/strong&gt;：AI动态调度劳动力资源，识别并满足新的社会需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;多样化经济模式支持&lt;/strong&gt;：在公有制基础上，支持多种经济形式共存。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;个人激励和成就感&lt;/strong&gt;：通过非物质和物质激励，激发个人积极性和创新力。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h1 id=&quot;4-详细方案设计&quot;&gt;4. 详细方案设计&lt;/h1&gt;
&lt;h2 id=&quot;41-资源按需分配&quot;&gt;4.1 资源按需分配&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;方案要点&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;绝对公正的AI系统&lt;/strong&gt;：AI通过统计方法确定个体的最大需求量，而非主观需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;虚拟满足&lt;/strong&gt;：对于主观需求，AI采用虚拟手段进行满足，确保资源分配的高效性和公平性。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;具体步骤&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;需求评估&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;利用大数据和机器学习技术，评估个体的实际需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;确定每个个体在不同情境下的最大需求量，避免资源浪费。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;虚拟满足实现&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;利用虚拟现实和增强现实技术，满足个体的主观需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;通过账户系统和虚拟奖励机制，平衡个体需求和社会资源。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;可行性分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;技术可行性&lt;/strong&gt;：大数据和机器学习技术已成熟，可支持需求评估。虚拟现实和增强现实技术亦在快速发展。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;经济可行性&lt;/strong&gt;：初期成本较高，但长期来看可通过资源优化配置和减少浪费实现经济效益。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会可行性&lt;/strong&gt;：需要广泛的教育和沟通，确保个体对虚拟满足的理解和接受。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;（见详细设计和可行性分析）&lt;/p&gt;
&lt;h2 id=&quot;42-人类行为能量收集&quot;&gt;4.2 人类行为能量收集&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;方案要点&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;多种能量收集技术&lt;/strong&gt;：包括动能收集、热能收集和其他形式的能量转换。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;高效能量转化&lt;/strong&gt;：确保收集的能量能够高效地转化为电能或其他形式的可用能量。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;智能能量分配&lt;/strong&gt;：通过AI系统智能分配存储的能量，满足社会生产和生活需求。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;具体步骤&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;动能收集装置&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;步行/跑步能量收集&lt;/strong&gt;：设计鞋底或地板中的压电材料，将步行或跑步产生的机械能转化为电能。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;骑行能量收集&lt;/strong&gt;：在自行车或健身车中安装动能发电装置，将骑行产生的动能转化为电能。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;热能收集装置&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;人体热能收集&lt;/strong&gt;：设计可穿戴设备，利用热电材料将人体散发的热能转化为电能。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;环境热能收集&lt;/strong&gt;：在建筑物表面或内部安装热能收集装置，利用环境热能进行转化。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;其他能量收集技术&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;振动能量收集&lt;/strong&gt;：利用振动发电技术，将机械振动转化为电能。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;光能收集&lt;/strong&gt;：利用光伏技术，将光能转化为电能。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;数据收集与分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;传感器网络部署&lt;/strong&gt;：部署在能量收集装置中的传感器，实时监测能量收集和转换效率；收集用户行为数据，了解个体活动模式和能量贡献情况。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;数据处理与分析&lt;/strong&gt;：采用大数据分析和机器学习算法，处理和分析能量收集数据，优化能量转化效率；评估个体能量贡献，提供实时反馈和个性化激励措施。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;能量存储与利用&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;能量存储装置&lt;/strong&gt;：采用高效电池技术，如锂离子电池、超级电容器等，存储收集的电能；设计智能电网系统，优化能量存储和分配策略。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;智能能量分配&lt;/strong&gt;：通过AI系统实时监测能量需求和供给情况，智能分配存储的能量；优先满足关键生产环节和生活需求，提高能量利用效率。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;可行性分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;技术可行性&lt;/strong&gt;：动能收集、热能收集和光能收集等技术已经在多个领域得到应用，具有较高的技术成熟度。进一步的技术研发和优化可以提升能量收集装置的小型化、轻量化和高效能量转化。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;经济可行性&lt;/strong&gt;：能量收集装置和传感器网络的部署需要较大的初期投资，但随着技术进步和规模化生产，成本有望逐步降低。通过能量收集装置获取的能源可以部分替代传统能源，降低社会整体能源消耗，具有长期经济效益。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会可行性&lt;/strong&gt;：可穿戴设备和日常生活中的能量收集装置具有较高的用户接受度，能量收集过程不影响日常生活。通过能量收集和转化，提高能源利用效率，减少环境污染，具有显著的社会效益。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;（见详细设计和可行性分析）&lt;/p&gt;
&lt;h2 id=&quot;43-劳动力调度与社会需求识别&quot;&gt;4.3 劳动力调度与社会需求识别&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;方案要点&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;AI动态调度&lt;/strong&gt;：AI负责动态调度社会劳动力资源，满足现有需求和新兴需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会需求识别&lt;/strong&gt;：AI通过大数据分析和社会调查，识别对社会有益的新任务和需求。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;具体步骤&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;劳动力调度&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;利用优化算法，制定最优的劳动力调度方案。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;实时监控劳动力市场和生产情况，动态调整调度方案。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;需求识别&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;通过大数据分析和社会调查，识别对社会有益的新任务和需求。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;与科研机构和企业合作，推动技术创新和产业升级。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;可行性分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;技术可行性&lt;/strong&gt;：优化算法和大数据分析技术已成熟，支持动态调度和需求识别。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;经济可行性&lt;/strong&gt;：通过优化劳动力调度，提高生产效率和经济效益。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会可行性&lt;/strong&gt;：需要建立完善的反馈机制，确保需求识别的准确性和科学性。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h2 id=&quot;44-多样化经济模式支持&quot;&gt;4.4 多样化经济模式支持&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;方案要点&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;支持多种经济形式&lt;/strong&gt;：在公共所有制基础上，允许合作社、自营模式等多种经济形式共存。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;鼓励社区经济&lt;/strong&gt;：支持社区级别的经济活动，鼓励地方自治和社区自主经营。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;具体步骤&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;多种经济形式&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;制定相关政策和法规，支持多种经济形式的共存和发展。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;提供资金和技术支持，促进合作社和自营经济的发展。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;社区经济&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;设立社区经济发展基金，支持社区级别的经济活动。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;鼓励地方自治，赋予社区更多的自主权和决策权。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;可行性分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;技术可行性&lt;/strong&gt;：现有技术和管理模式可支持多种经济形式的共存和发展。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;经济可行性&lt;/strong&gt;：通过多样化经济模式，激发经济活力和创新能力。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会可行性&lt;/strong&gt;：需要政策支持和社会共识，促进多种经济形式的健康发展。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h2 id=&quot;45-个人激励和成就感&quot;&gt;4.5 个人激励和成就感&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;方案要点&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;非物质激励&lt;/strong&gt;：通过荣誉、社会认可等非物质激励方式，激励个人努力工作和追求卓越。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;共享经济模式&lt;/strong&gt;：通过共享经济模式，让个人在贡献社会的同时获得成就感和满足感。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;具体步骤&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;非物质激励&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;建立荣誉体系和社会认可机制，奖励在各领域做出突出贡献的个人。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;通过媒体和公众活动，宣传和表彰优秀个人和团队。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;共享经济模式&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;推广共享经济理念，鼓励资源共享和协作创新。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;设立共享平台，促进个人和组织之间的资源和信息交流。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;可行性分析&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;技术可行性&lt;/strong&gt;：现有技术和平台可支持非物质激励和共享经济模式的发展。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;经济可行性&lt;/strong&gt;：通过非物质激励和共享经济模式，激发个人和组织的积极性和创造力。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;社会可行性&lt;/strong&gt;：需要社会共识和政策支持，推动非物质激励和共享经济模式的实施。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h1 id=&quot;5-可能问题与解决方案&quot;&gt;5. 可能问题与解决方案&lt;/h1&gt;
&lt;h2 id=&quot;51-数据隐私与安全&quot;&gt;5.1 数据隐私与安全&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;问题&lt;/strong&gt;：数据隐私和安全是AI决策系统的关键问题，涉及用户个人信息和敏感数据的保护。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;解决方案&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;实施数据加密和访问控制，确保数据的机密性和完整性。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;建立健全的数据隐私保护政策和法律法规，保障用户权益。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;采用区块链技术，确保数据的透明和不可篡改。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h2 id=&quot;52-系统鲁棒性与可靠性&quot;&gt;5.2 系统鲁棒性与可靠性&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;问题&lt;/strong&gt;：AI系统需要具备高鲁棒性和可靠性，以应对各种突发情况和系统故障。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;解决方案&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;设计冗余系统和备份机制，确保系统在故障情况下的连续性。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;进行全面的系统测试和压力测试，确保系统在各种环境下的稳定运行。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;建立应急响应机制和灾难恢复计划，快速应对和恢复系统故障。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h2 id=&quot;53-决策透明性与公平性&quot;&gt;5.3 决策透明性与公平性&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;问题&lt;/strong&gt;：确保AI决策的透明性和公平性，避免偏见和歧视。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;解决方案&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;采用可解释性AI技术，确保决策过程透明、可审查。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;建立多层次的监督和审计机制，确保决策的公正性和公平性。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;进行持续的算法优化和模型校准，避免数据偏见和算法歧视。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h2 id=&quot;54-社会接受度与信任度&quot;&gt;5.4 社会接受度与信任度&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;问题&lt;/strong&gt;：AI系统的社会接受度和用户信任度是成功实施的关键。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;解决方案&lt;/strong&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;通过公众教育和宣传，提高社会对AI系统的理解和接受度。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;建立透明的沟通渠道和反馈机制，听取用户意见和建议，改进系统设计。&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;进行用户体验优化，确保系统的易用性和友好性，提高用户满意度。&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h1 id=&quot;6-结论&quot;&gt;6. 结论&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;本方案通过AI公正管理和资源分配，结合能量收集和劳动力调度，旨在实现更公平和高效的共产主义社会。尽管面临挑战，通过合理设计和持续优化，可以在不背离共产主义初衷的情况下，实现社会的可持续发展和进步。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;7-附录&quot;&gt;7. 附录&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;包括技术细节、实验数据和实施方案的详细数据。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>2023年总结</title><link>https://blog.trav.one/posts/230615/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/230615/</guid><description>闲暇偶思，才意识到这是独自生活的第二年了。 不知不觉就已经下了公车，走进这片从小遥望的山林。 山里的路不再像公路那样坦荡宽敞，甚至难于辨认那繁茂灌木下若隐若现的黄土究竟是人行的路还是野兽归巢的途径。 选择，整片山林，大小的每份足迹都在告诉我要选择。这选择无关对错，只掩盖着不同的风景，那或浅或深的足迹前方或许是幽暗的隧洞、清冽的溪流、开阔的高地，也可能是满山的坟头和腐臭的垃圾降解站。 实话说，这走过…</description><pubDate>Thu, 15 Jun 2023 13:15:27 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;闲暇偶思，才意识到这是独自生活的第二年了。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;不知不觉就已经下了公车，走进这片从小遥望的山林。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;山里的路不再像公路那样坦荡宽敞，甚至难于辨认那繁茂灌木下若隐若现的黄土究竟是人行的路还是野兽归巢的途径。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;选择，整片山林，大小的每份足迹都在告诉我要选择。这选择无关对错，只掩盖着不同的风景，那或浅或深的足迹前方或许是幽暗的隧洞、清冽的溪流、开阔的高地，也可能是满山的坟头和腐臭的垃圾降解站。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;实话说，这走过的二里地，没感觉到什么迷茫和纠结，只是也没能寻到预期的那份幽秘之趣。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这山不过用广阔而繁密的林子诠释着自己：无数条路存在于此。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;它们大多与我无关，我既无能也无意一一探秘。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;愈走愈深，横过的尸骨像一处处句读，无言陈述了所有路途的终结。山林不过是需要一些养料来维持它那病态的无限母性，孕育生命，又看着他们灭亡，没有目的。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;或许从前我不是那么注重过程的人，不喜欢繁冗的记录，只是享受着那种重在过程的人生观并习以为常。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;不过现在想来，还是多少记些。大概是小时候看那荒野求生迟来的观后感：在这种密林里，于情于理于乐趣，都该记下自己来时的路。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>GCC与LLVM工具链</title><link>https://blog.trav.one/posts/gcc-llvm-toolchain/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/gcc-llvm-toolchain/</guid><description>参考自： compiler construction - What is the difference between clang (and LLVM) and gcc / g++? - Stack Overflow GCC GCC，全称 the GNU Compiler Collection，是一套能够将 C、C++等多种高级语言源码编译生成二进制机器码的软件集合。从源码到二进制文件的过程中，G…</description><pubDate>Fri, 17 Dec 2021 17:00:27 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;参考自：&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;https://stackoverflow.com/questions/24836183/what-is-the-difference-between-clang-and-llvm-and-gcc-g&quot;&gt;compiler construction - What is the difference between clang (and LLVM) and gcc / g++? - Stack Overflow&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;gcc&quot;&gt;GCC&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;GCC，全称 the GNU Compiler Collection，是一套能够将 C、C++等多种高级语言源码编译生成二进制机器码的软件集合。从源码到二进制文件的过程中，GCC 首先将高级语言翻译为 Register Transfer Language（RTL）的统一表示，再通过不同硬件所用的指令集，编译为可在具体机型上运行的二进制文件。&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;text&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;plaintext&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;+----------------+    +----------+   +-------+   +---------+    +----------------+&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;|                |    |          |   |       |   |         |    |                |&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;|  Source Code   +----&gt; Frontend +---&gt;  RTL  +---&gt; Backend +----&gt;  Machine Code  |&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;|                |    |          |   |       |   |         |    |                |&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;+----------------+    +----------+   +-------+   +---------+    +----------------+&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;在从源码到 RTL 的过程中，实际是通过 GCC 进行了对代码的目的进行了一次抽象，从而可以对其进行优化，抛弃一些无谓的步骤，完成这部分工作的软件就被称作前端（Frontend）。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;从源码中提炼出的 RTL 指明了程序的功能和目标，但还缺少具体的执行步骤，因此需要被称作后端（Backend）的软件来负责把抽象的目标具象为处理器能够理解的指令序列。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;GCC 最初只是为了 GNU 系统开发的编译器软件包，只是在发展过程中逐步补充兼容，成为了现今最常用的 C 编译套件。但限于初期的规划和目标，GCC 代码的耦合度较高，经过长时间的维护，代码质量难以保证，一些底层设计也逐渐无法适应计算机软件的功能需求。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;llvm&quot;&gt;LLVM&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;这时，LLVM（Low Level Virtual Machine）横空出世，其基本思路为：将软件编译过程分为源码，中间表示层，二进制文件三个环节，作为前端，优化器，后端三个子项目独立实现，由此提高整个工具链的灵活性和扩展性。其中核心即在于用以表达功能的中间层（Intermediate Representation，IR），在此的具体实现是被称为 LLVM Core 的优化器（Optimizer）。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;LLVM Core 优良的设计令其不仅能够有效处理静态代码，也能够对动态的设计进行有效的优化和翻译，说一种 IR 设计良好，直观理解就是表现力强，更容易在翻译源码时做到信达雅。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;LLVM 把完整的编译工具包称作工具链（Tool Chain），想从源码编译可运行的文件，光有 LLVM 还不够。Clang（发音：克朗），作为一种优秀的 LLVM 前端，可以处理 C/C++/Objective-C/Objective-C++等源码，将其转化为 LLVM IR 供后端处理。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;LLVM 后端的选择，与二进制文件所需运行的具体环境有关，可选的有 LLVM JIT，LLVM x86 compiler 等多种，我不懂，所以之后有时间学完再说。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;以上主要是我对 GCC，LLVM 以及程序编译的粗浅理解，如有不妥还烦请多指教。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>代理部署</title><link>https://blog.trav.one/posts/proxy/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/proxy/</guid><description>记录一下部署xray代理的全过程，方便以后操作。 操作环境 - 软件：纯净Debian 10 - 硬件：莫斯科1C0.5G小鸡 既然是纯净，开机先来一下： BBR安装 使用chiakge/Linux-NetSpeed安装： 我选的BBRPlus。 X-ray安装 使用mack-a/v2ray-agent安装： 选了XTLS组合。 Brook转发 安装txthinking/brook： 设置： 完成…</description><pubDate>Tue, 22 Jun 2021 09:09:27 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;记录一下部署xray代理的全过程，方便以后操作。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;操作环境&quot;&gt;操作环境&lt;/h1&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;软件：纯净Debian 10&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;硬件：莫斯科1C0.5G小鸡&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;既然是纯净，开机先来一下：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; apt-get&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; update&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; apt-get&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; install&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; wget&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; vim&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;h1 id=&quot;bbr安装&quot;&gt;BBR安装&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;使用&lt;a href=&quot;https://github.com/chiakge/Linux-NetSpeed&quot;&gt;chiakge/Linux-NetSpeed&lt;/a&gt;安装：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;wget&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -N&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; --no-check-certificate&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; &quot;https://raw.githubusercontent.com/chiakge/Linux-NetSpeed/master/tcp.sh&quot;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;chmod&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; +x&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; tcp.sh&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;./tcp.sh&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;我选的BBRPlus。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;x-ray安装&quot;&gt;X-ray安装&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;使用&lt;a href=&quot;https://github.com/mack-a/v2ray-agent&quot;&gt;mack-a/v2ray-agent&lt;/a&gt;安装：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;wget&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -P&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; /root&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -N&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; --no-check-certificate&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; &quot;https://raw.githubusercontent.com/mack-a/v2ray-agent/master/install.sh&quot;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;chmod&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; 700&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; /root/install.sh&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;/root/install.sh&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;选了XTLS组合。&lt;/p&gt;
&lt;h1 id=&quot;brook转发&quot;&gt;Brook转发&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;安装&lt;a href=&quot;https://github.com/txthinking/brook&quot;&gt;txthinking/brook&lt;/a&gt;：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;curl&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -L&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; https://github.com/txthinking/brook/releases/latest/download/brook_linux_amd64&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -o&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; /usr/bin/brook&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;chmod&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; +x&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; /usr/bin/brook&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;设置：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;nohup&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; brook&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; relay&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -f&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; :转发端口&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -t&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; (目标ip):目标端口 &gt; /dev/null 2&gt;&amp;#x26;1 &amp;#x26;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;完成。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>情绪绑架的别离</title><link>https://blog.trav.one/posts/moods/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/moods/</guid><description>就算知道你的固执，仍然没能说出违心的话，甚至没能适时的跳出和迁移。整容与否，当然是自由，不过我看来更像吸毒，像虚无的努力，像一切标榜远大追求的堕落，这种自由我很难接受。我确实有错，不同而和是友谊的基础，但同样是人，翻涌而出的情绪令人倍感无力。我不愿事情发生在我眼前，却在情绪下丧失了继续坚持的动力，结果便是选择逃避。 其实我渐渐明白，我缺乏你最需要的价值，这大概是你如此匆忙又轻易促进离别的基础。单方…</description><pubDate>Sat, 29 May 2021 16:17:43 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;就算知道你的固执，仍然没能说出违心的话，甚至没能适时的跳出和迁移。整容与否，当然是自由，不过我看来更像吸毒，像虚无的努力，像一切标榜远大追求的堕落，这种自由我很难接受。我确实有错，不同而和是友谊的基础，但同样是人，翻涌而出的情绪令人倍感无力。我不愿事情发生在我眼前，却在情绪下丧失了继续坚持的动力，结果便是选择逃避。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;其实我渐渐明白，我缺乏你最需要的价值，这大概是你如此匆忙又轻易促进离别的基础。单方的热诚终归是不自然的。出于对你脾气的信任，挽留已无望。我确实错了，但无需原谅，是我们共同的局限在同一时刻抵达了边界。一个傻逼不必原谅另一个傻逼，这有违傻逼的定义。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>记无言</title><link>https://blog.trav.one/posts/no-word/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/no-word/</guid><description>长久以来，聊天时总是习惯顺应对方的思路，拼凑着对方可能感兴趣的内容发散延伸，意图促成愉快的交谈。也许有些自夸，但记忆里的我确实经常成功。 只是随着生活的枝桠愈发繁茂，环境的割裂推进着了各人思维的分化，也就成了现在的我，再浓烈的气氛仍然无法推动那气流穿过喉头，认生一般，声带难再为某些话振动，以致对方的痛苦伴随着我那飘渺的愧疚袅袅升起，在短粗的烟囱内壁积下可察的墨污。 我愿意以为这是我不愿再麻烦于他人…</description><pubDate>Fri, 21 May 2021 15:10:45 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;长久以来，聊天时总是习惯顺应对方的思路，拼凑着对方可能感兴趣的内容发散延伸，意图促成愉快的交谈。也许有些自夸，但记忆里的我确实经常成功。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;只是随着生活的枝桠愈发繁茂，环境的割裂推进着了各人思维的分化，也就成了现在的我，再浓烈的气氛仍然无法推动那气流穿过喉头，认生一般，声带难再为某些话振动，以致对方的痛苦伴随着我那飘渺的愧疚袅袅升起，在短粗的烟囱内壁积下可察的墨污。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我愿意以为这是我不愿再麻烦于他人的琐事，他人之痛常在山野间迭起，距离远近于我实际并无大异；再者，声明过距离，本就不该僭越分毫。然而，面对已发生的现实，以上两点实难完全解释。近久的失语大多没那么畅快和自在，想来恐怕是我难把认可的正确说与你听。尽管我相信着我的正确，但我同样又相信着你的敏感易怒，或许对这两者有些过分相信了。愤怒中挟来的无理是我始终没能克服的心魇，我不愿花一丝一毫的气力去应对，而我那好为人师烂脾气似乎又不那么甘心，于是我不痛快，但仍无言。只能做个逃兵来这里倾倒。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;无言之后，只盼回看之时能有所改，前文所述皆不再称问题。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>关于友谊的含时系统</title><link>https://blog.trav.one/posts/whimsy-1/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/whimsy-1/</guid><description>友谊所能构建的人与人之间的关联，难道随着年岁增加而逐渐衰减？ 就像是不断膨胀的晶胞，其面积总是无法跟上体积的增长，成长的过程中比表面积无限降低，意味着他将不再活泼；触及核心的交流越来越少，他也逐渐变得固执和自我；这是宏微观统一的特性？ 这么想可能确实很自然。当一个人逐渐成熟，每一次对自己的质疑都饱含风险，充满困难，也缺乏必要：成长证明了当下自我的价值，只需要继续保持，不断巩固，人终于成为社会性的贡…</description><pubDate>Mon, 10 May 2021 15:55:35 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;p&gt;友谊所能构建的人与人之间的关联，难道随着年岁增加而逐渐衰减？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;就像是不断膨胀的晶胞，其面积总是无法跟上体积的增长，成长的过程中比表面积无限降低，意味着他将不再活泼；触及核心的交流越来越少，他也逐渐变得固执和自我；这是宏微观统一的特性？&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这么想可能确实很自然。当一个人逐渐成熟，每一次对自己的质疑都饱含风险，充满困难，也缺乏必要：成长证明了当下自我的价值，只需要继续保持，不断巩固，人终于成为社会性的贡献者，一个顽固的自我将为社会的发展保留可能性，人成了逆熵的貔貅，只出不进，不再交流，“只出“重复过无数遍的话语以巩固自我，与此同时“不进“外界的风声以呵护核心，如此降低自身的可能性来避免社会的同化。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;但这之后成为统计学中有效数字的末尾以致被忽略或许也是可预料的，毕竟无法表达的独特难以为别人所知，人就此隐入群体而难产生什么影响。如此，个人的独特建立在失效的交流之上，留给每个人的或许是孤独也可能是空虚，需要无限的娱乐去填充。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我不懂这是否值得悲叹，又或许只是自然潮流。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;说白了，我也只是希望，能有一些不一样的，逆流而上的游鱼能带我领略这溪流的上游，去理解自己从何而来，向何处去。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>Typecho个人博客搭建</title><link>https://blog.trav.one/posts/typecho-install/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/typecho-install/</guid><description>PHP7.4的安装 借鉴此篇 在CentOS 7系统上安装PHP 7.4版本的方法 为yum添加EPEL和REMI存储库 安装PHP7.4 启用存储库 安装PHP7.4及其扩展 检查安装是否成功 VeryNginx配置 似乎是因为VeryNginx的面板并不支持FastCGI这样的设置，无论在静态后端还是反向代理中进行设置，均会在访问PHP页面时直接触发浏览器下载功能。因此放弃在面板中进行设置，删…</description><pubDate>Mon, 05 Apr 2021 07:08:35 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;h1 id=&quot;php74的安装&quot;&gt;PHP7.4的安装&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;借鉴此篇&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;https://blog.csdn.net/qq_27715357/article/details/106734411&quot;&gt;在CentOS 7系统上安装PHP 7.4版本的方法&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;h2 id=&quot;为yum添加epel和remi存储库&quot;&gt;为yum添加EPEL和REMI存储库&lt;/h2&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; install&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; epel-release&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -y&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; install&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; https://rpms.remirepo.net/enterprise/remi-release-7.rpm&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;h2 id=&quot;安装php74&quot;&gt;安装PHP7.4&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;启用存储库&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -y&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; install&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum-utils&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;yum&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; repolist&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; all&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; | &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;grep&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum-config-manager&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; --enable&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; remi-php74&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;安装PHP7.4及其扩展&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;sudo&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; yum&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; install&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt;  php-cli&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-fpm&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-mysqlnd&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-zip&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-devel&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-gd&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-mcrypt&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-mbstring&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-curl&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-xml&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-pear&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-bcmath&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-json&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; php-redis&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;检查安装是否成功&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;php&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -v&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;h1 id=&quot;verynginx配置&quot;&gt;VeryNginx配置&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;似乎是因为VeryNginx的面板并不支持FastCGI这样的设置，无论在静态后端还是反向代理中进行设置，均会在访问PHP页面时直接触发浏览器下载功能。因此放弃在面板中进行设置，删去或禁用所有与blog页面有关的过滤及代理，转向nginx.conf的设置。&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;nginx&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;nginx&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#7F848E;--shiki-dark-font-style:italic&quot;&gt;# /opt/verynginx/openresty/nginx/conf/nginx.conf&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;server&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; {&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;	server_name &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;blog.chen-kai.fun;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		listen	&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;443&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; ssl;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		listen	&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;[::]:443 ssl;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#7F848E;--shiki-dark-font-style:italic&quot;&gt;		#this line shoud be include in every server block&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		include &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/opt/verynginx/verynginx/nginx_conf/in_server_block.conf;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		ssl_certificate	&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/www/cert/*.chen-kai.fun/fullchain.cer;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		ssl_certificate_key &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/www/cert/*.chen-kai.fun/*.chen-kai.fun.key;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;	location&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; / {&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		root &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/www/data;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		index &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;index.php;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;	}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;	location&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; ~ &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#0184BC;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;.*\.php(/|$) &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;{&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		root &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/www/data;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		fastcgi_pass &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;127.0.0.1:9000;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		fastcgi_index &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;index.php;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		fastcgi_param &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;SCRIPT_FILENAME $&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#E45649;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;document_root&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;$&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#E45649;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;fastcgi_script_name&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		include &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;fastcgi_params;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;	}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;	error_page &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;404&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; /404.html;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;	location&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; /404.html {&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;		root &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;/www/data;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;	}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;重启Nginx：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;bash&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;bash&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;/opt/verynginx/openresty/nginx/sbin/nginx&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; -s&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt; reload&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;h1 id=&quot;安装typecho&quot;&gt;安装Typecho&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;直接访问&lt;code&gt;your.domain.com&lt;/code&gt;，首次将直接跳转至install.php，进入安装向导。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;按照向导顺序安装即可完成安装。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;如果选择SQLite时提示&lt;code&gt;对不起，无法连接数据库，请先检查数据库配置再继续进行安装&lt;/code&gt;，则说明&lt;code&gt;\www\data&lt;/code&gt;目录权限设置错误，需将该目录拥有者设置为&lt;code&gt;Apache&lt;/code&gt;用户组中的&lt;code&gt;Apache&lt;/code&gt;用户。&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>微积分笔记</title><link>https://blog.trav.one/posts/calculus/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/calculus/</guid><description>集合与映射 集合 一堆元素. 集合的运算 集合与集合运算得到另一个集合. A oplus B=C 目的在于判别参与运算各集合中的元素是否属于运算结果. 算子 A,B: 任意集合 U: 全集 varnothing: 空集 交: 同时属于两个集合的元素. A cap B = Cnewline a in A space and space a in B newline to a in C 差: 只属于算…</description><pubDate>Mon, 08 Mar 2021 08:01:59 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;h1 id=&quot;集合与映射&quot;&gt;集合与映射&lt;/h1&gt;
&lt;h2 id=&quot;集合&quot;&gt;集合&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;一堆元素.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id=&quot;集合的运算&quot;&gt;集合的运算&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;集合与集合运算得到另一个集合.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊕&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \oplus B=C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;⊕&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;目的在于判别参与运算各集合中的元素是否属于运算结果.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;算子&quot;&gt;算子&lt;/h4&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;,&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;B&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;: 任意集合&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;U&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;: 全集&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∅&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\varnothing&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord amsrm&quot;&gt;∅&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;: 空集&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;交: 同时属于两个集合的元素.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cap B = C\newline
a \in A \space and \space a \in B \newline
\to
a \in C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;an&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.3669em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;→&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;差: 只属于算符左侧集合的元素.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∉&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A - B = C\newline
a \in A \space and \space a \notin B\newline
\to
a \in C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;an&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord vbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;thinbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;llap&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;inner&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.0556em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;fix&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.3669em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;→&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;对称差: 只属于其中一个集合的元素.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊕&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∉&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;o&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∉&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \oplus B = (A - B) + (B - A) = C\newline
(a \in A \space and \space a \notin B) \space or \space  (a \notin A \space and \space a \in B)\newline
\to
a \in C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;⊕&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;an&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord vbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;thinbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;llap&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;inner&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.0556em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;fix&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0278em;&quot;&gt;or&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord vbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;thinbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;llap&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;inner&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.0556em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;fix&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;an&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.3669em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;→&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;并: 属于其中任意一个集合的元素.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;o&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cup B \newline
a \in A \space or \space a \in B \newline
\to
a \in C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0278em;&quot;&gt;or&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.3669em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;→&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;补: 不属于某个集合的元素.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∉&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt; &lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\overline{A} = U - A = C \newline
a \notin A \space and \space a \in U \newline
\to
a \in C&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord vbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;thinbox&quot;&gt;&lt;span class=&quot;llap&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;inner&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.0556em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;fix&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;an&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot;&gt; &lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.3669em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;→&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h4 id=&quot;等幂律&quot;&gt;等幂律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cap A = A \newline
A \cup A = A&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h4 id=&quot;交换律&quot;&gt;交换律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊕&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊕&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cap B = B \cap A \newline
A \cup B = B \cup A \newline
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&lt;h4 id=&quot;补余律&quot;&gt;补余律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∅&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cap \overline{A} = \varnothing \newline
A \cup \overline{A} = U&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord amsrm&quot;&gt;∅&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h4 id=&quot;吸收律&quot;&gt;吸收律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A \cup (A \cap B) = A \newline
A \cap (A \cup B) = A&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h4 id=&quot;de-morgan律&quot;&gt;De Morgan律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∩&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;∪&lt;/mo&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∅&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∅&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C) \newline
A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \newline
\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \newline
\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \newline
\overline{\varnothing} = U \newline
\overline{U} = \varnothing&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0715em;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∩&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;∪&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0502em;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8633em;vertical-align:-0.0817em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7817em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord amsrm&quot;&gt;∅&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.7017em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.0817em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;U&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord amsrm&quot;&gt;∅&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h4 id=&quot;双重否定律&quot;&gt;双重否定律&lt;/h4&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mover accent=&quot;true&quot;&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo stretchy=&quot;true&quot;&gt;‾&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\overline{\overline{A}} = A&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.0833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord overline&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8833em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.8033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.0033em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;overline-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;A&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h2 id=&quot;映射&quot;&gt;映射&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;一堆元素与一堆元素的对应关系.&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h1 id=&quot;数列与级数&quot;&gt;数列与级数&lt;/h1&gt;
&lt;h2 id=&quot;数列&quot;&gt;数列&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;按顺序排列的一列数, 每项是一个数.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id=&quot;数列的极限&quot;&gt;数列的极限&lt;/h3&gt;
&lt;h4 id=&quot;唯一性&quot;&gt;唯一性&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;若数列存在极限, 则其极限必唯一.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;有界性&quot;&gt;有界性&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;若数列存在极限, 则该数列必有界.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;保号性&quot;&gt;保号性&lt;/h4&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;设数列&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\{a_{n}\}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;存在极限&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;a&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.4306em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 且&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;a&gt;0&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6444em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 则存在正整数&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;N&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 当&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;n&gt;N&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;时有&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;a_n&gt;0&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6891em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6444em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;若数列极限在原点某侧, 则在项数足够大时, 其后所有项的符号均位于极限同侧.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id=&quot;敛散性&quot;&gt;敛散性&lt;/h3&gt;
&lt;h4 id=&quot;数列收敛&quot;&gt;数列收敛&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;必要条件: 有界.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;充分条件: 单调有界.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;区间套定理&quot;&gt;区间套定理&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;存在区间序列满足每个区间都包含于前一个区间内, 且区间端点之差趋近零, 则存在唯一一点&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;x_0&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3011em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;包含于该序列所有区间内.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;聚点原理&quot;&gt;聚点原理&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;有界数列必存在收敛的子数列.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;柯西收敛原理&quot;&gt;柯西收敛原理&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;数列&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;}&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\{a_n\}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;收敛的充要条件为: 对任给&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ε&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;ε&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6444em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 存在正整数&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;N&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 使得对所有满足&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mo separator=&quot;true&quot;&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;m&gt;N, n&gt;N&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;m&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mpunct&quot;&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.109em;&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;的&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mo separator=&quot;true&quot;&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;m, n&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;m&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mpunct&quot;&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;有&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x3C;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ε&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;|a_m-a_n|&amp;#x3C;\varepsilon&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;m&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&amp;#x3C;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.4306em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;ε&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id=&quot;级数&quot;&gt;级数&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;按顺序排列的一列数, 但每项都是一列数之和.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;正项级数&quot;&gt;正项级数&lt;/h4&gt;
&lt;h5 id=&quot;比值判别法&quot;&gt;比值判别法&lt;/h5&gt;
&lt;h5 id=&quot;根值判别法&quot;&gt;根值判别法&lt;/h5&gt;
&lt;h4 id=&quot;交错级数&quot;&gt;交错级数&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;正负项交错出现的级数.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&gt;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo separator=&quot;true&quot;&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;double-struck&quot;&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mo lspace=&quot;0em&quot; rspace=&quot;0em&quot;&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\newline
a_n&gt;0,n\in\Bbb{N}^{+}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8641em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin mtight&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6891em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mpunct&quot;&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.8213em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathbb&quot;&gt;N&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8213em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h5 id=&quot;莱布尼兹判别法&quot;&gt;莱布尼兹判别法&lt;/h5&gt;
&lt;h4 id=&quot;变号级数&quot;&gt;变号级数&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;符号会发生改变的级数.&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;double-struck&quot;&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\newline
a_n \in \Bbb{R}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6891em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;∈&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6889em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathbb&quot;&gt;R&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;若其对应的正项级数&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.3185em;vertical-align:-0.9671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.3514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.1329em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol small-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.95em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.9671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;strong&gt;通过比值或根值判别法判断发散&lt;/strong&gt;, 则原级数发散.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;若正项级数收敛, 则原级数必收敛.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;若正项级数发散而原级数收敛, 则称该变号级数&lt;strong&gt;条件收敛&lt;/strong&gt;. 若正项级数和原级数同时收敛, 则称该变号级数&lt;strong&gt;绝对收敛&lt;/strong&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id=&quot;性质&quot;&gt;性质&lt;/h3&gt;
&lt;h4 id=&quot;可交换性&quot;&gt;可交换性&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;绝对收敛的级数交换其前后项的位置, 结果仍绝对收敛.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;乘法&quot;&gt;乘法&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;两个绝对收敛的级数其各项乘积所得级数和&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo separator=&quot;true&quot;&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{i,j=1}^{\infty}a_{i}b_{j}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.4652em;vertical-align:-1.1138em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.3514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.1223em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;i&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mpunct mtight&quot;&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot; style=&quot;margin-right:0.0572em;&quot;&gt;j&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol small-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.95em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.1138em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3117em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;i&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3117em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot; style=&quot;margin-right:0.0572em;&quot;&gt;j&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.2861em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;仍绝对收敛, 且和等于原级数收敛和的乘积.&lt;/p&gt;
&lt;h5 id=&quot;柯西乘积&quot;&gt;柯西乘积&lt;/h5&gt;
&lt;p&gt;在绝对收敛的条件下,有&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;⋅&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;.&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;.&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;.&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}b_{1}+a_{n-1}b_{2}+...+a_{1}b_{n})&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;⋅&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3011em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.9028em;vertical-align:-0.2083em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3011em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin mtight&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.2083em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3011em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;...&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3011em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;应用&lt;/strong&gt;:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;已知&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#x3C;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;q&amp;#x3C;1&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;&amp;#x3C;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6444em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;时, 几何乘积&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.3185em;vertical-align:-0.9671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.3514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.1329em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol small-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.95em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.9671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.6644em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.063em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;绝对收敛.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;则有:&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;⋅&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;∵&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mspace linebreak=&quot;newline&quot;&gt;&lt;/mspace&gt;&lt;mo&gt;∴&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munderover&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∞&lt;/mi&gt;&lt;/munderover&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n} \newline
\because \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \frac{1}{1-q} \newline
\therefore \frac{1}{(1-q)^{2}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7144em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;⋅&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7144em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7144em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6922em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel amsrm&quot;&gt;∵&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.1667em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7144em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.2019em;vertical-align:-0.8804em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mopen nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mfrac&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.3214em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.314em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.23em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;frac-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.677em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8804em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace newline&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.6922em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel amsrm&quot;&gt;∴&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.2574em;vertical-align:-0.936em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mopen nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mfrac&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.3214em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.314em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7401em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.989em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.23em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;frac-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.677em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.936em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.9185em;vertical-align:-1.2671em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-limits&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.6514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-1.8829em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel mtight&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;0&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol large-op&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-4.3em;margin-left:0em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3.05em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;∞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2671em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;q&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7144em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.113em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;h3 id=&quot;敛散性判别&quot;&gt;敛散性判别&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;收敛必要条件&lt;/strong&gt;: 级数通项极限为零.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;一般性流程&quot;&gt;一般性流程&lt;/h4&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;判断通项极限是否为零, 若不为零, 级数发散.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;判断是否为正项级数, 若为正项级数, 采用&lt;strong&gt;比较判别法&lt;/strong&gt;(不等式与极限形式), &lt;strong&gt;根值判别法&lt;/strong&gt;, &lt;strong&gt;比值判别法&lt;/strong&gt;判断敛散性.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;判断是否为交错级数&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;∑&lt;/mo&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mo stretchy=&quot;false&quot;&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;\sum(-1)^{n-1}u_{n}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mop op-symbol small-op&quot; style=&quot;position:relative;top:0em;&quot;&gt;∑&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mopen&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mclose&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.8141em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.063em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin mtight&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;, 若&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;u_{n}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.1514em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;n&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;单调下降, 则原级数收敛.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;利用级数运算性质和其他判别法.&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;h4 id=&quot;柯西收敛原理-1&quot;&gt;柯西收敛原理&lt;/h4&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;附录&quot;&gt;附录&lt;/h2&gt;
&lt;h3 id=&quot;三角不等式&quot;&gt;三角不等式:&lt;/h3&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;−&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;≤&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;±&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;≤&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant=&quot;normal&quot;&gt;∣&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;−&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;≤&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;±&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;≤&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;a&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:1em;vertical-align:-0.25em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot;&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;∣&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;三角形两边之差小于等于第三边, 两边之和大于等于第三边(等号成立时, 三边共线).&lt;/p&gt;</content:encoded></item><item><title>Markdown使用小结</title><link>https://blog.trav.one/posts/markdown/</link><guid isPermaLink="true">https://blog.trav.one/posts/markdown/</guid><description>Markdown语法 首先的首先，自然是Markdown语法的使用练习。Markdown作为一种简单的标记语言，大体有以下几种输入对象。 --- 标题 输入 标题即可生成标题，的个数决定了标题的层级，最多可有六级。 例： --- 段落 在打算换行的地方连续输入两个及以上的&lt;kbdSpace&lt;/kbd其后再输入&lt;kbdEnter&lt;/kbd即可新启一段，也可以通过在段落间保留一个空行来实现。 --- …</description><pubDate>Thu, 12 Mar 2020 14:10:35 GMT</pubDate><content:encoded>&lt;h1 id=&quot;markdown语法&quot;&gt;Markdown语法&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;首先的首先，自然是&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;语法的使用练习。&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;作为一种简单的标记语言，大体有以下几种输入对象。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;标题&quot;&gt;标题&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;输入&lt;code&gt;# 标题&lt;/code&gt;即可生成标题，&lt;code&gt;#&lt;/code&gt;的个数决定了标题的层级，最多可有六级。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;text&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;plaintext&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;# 一级标题&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;## 二级标题&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span&gt;### 三级标题&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;段落&quot;&gt;段落&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;在打算换行的地方连续输入两个及以上的&lt;kbd&gt;Space&lt;/kbd&gt;其后再输入&lt;kbd&gt;Enter&lt;/kbd&gt;即可新启一段，也可以通过在段落间保留一个空行来实现。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;列表&quot;&gt;列表&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;分为有序列表和无序列表两种。有序列表通过输入&lt;code&gt;1.&lt;/code&gt;并在其后输入内容完成第一项的录入&lt;sup&gt;&lt;a href=&quot;#user-content-fn-%E6%B3%A8&quot; id=&quot;user-content-fnref-%E6%B3%A8&quot; data-footnote-ref=&quot;&quot; aria-describedby=&quot;footnote-label&quot;&gt;1&lt;/a&gt;&lt;/sup&gt;，无序列表可以通过输入&lt;code&gt;*&lt;/code&gt;并在其后输入内容。此外，列表还可互相嵌套，处于某父级列表下时，只需在输入标记前输入&lt;kbd&gt;Tab&lt;/kbd&gt;进行缩进，便可新启一个嵌套的列表。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#E5C07B&quot;&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; 父级列表&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#E5C07B&quot;&gt;2.&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; 包含嵌套列表的某项&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#E5C07B&quot;&gt;	*&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; 嵌套列表&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#E5C07B&quot;&gt;		*&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; 嵌套列表的嵌套列表&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;			1.不论是否有序，都可以随意嵌套。&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;父级列表&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;包含嵌套列表的某项
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;嵌套列表&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;嵌套列表的嵌套列表
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;不论是否有序，都可以随意嵌套。&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;区块&quot;&gt;区块&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;是一种适用于展示对象层级关系的格式，通过在内容前输入&lt;code&gt;&gt;&lt;/code&gt;实现。其中，&lt;code&gt;&gt;&lt;/code&gt;的个数决定对象所处层级。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#5C6370;--shiki-dark-font-style:inherit&quot;&gt;&gt; 如果你说我这波操作很捞&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#5C6370;--shiki-dark-font-style:inherit&quot;&gt;&gt; &gt; 这说明你在第二层&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#5C6370;--shiki-dark-font-style:inherit&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#5C6370;--shiki-dark-font-style:inherit&quot;&gt;&gt; 以为我在第一层&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A0A1A7;--shiki-light-font-style:italic;--shiki-dark:#5C6370;--shiki-dark-font-style:inherit&quot;&gt;&gt; &gt; &gt; &gt; &gt; 其实我在第五层&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;如果你说我这波操作很捞&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;这说明你在第二层&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;p&gt;以为我在第一层&lt;/p&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;
&lt;p&gt;其实我在第五层&lt;/p&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;/blockquote&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;代码&quot;&gt;代码&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;支持两种形式的代码输入，一种是行内的代码，用反引号&lt;kbd&gt;`&lt;/kbd&gt;将代码括起即可。另一种是代码区块，可以通过三个反引号将代码区块括起来实现。此外可以在前三个反引号后注明代码所用语言，可以实现关键字及函数高亮。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;```python&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;for i in range(520):&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;    if i == 520:&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;        print(&apos;I love U!&apos;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;    else:&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;        print(&apos;No way!&apos;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;```&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;python&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;python&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;for&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; i &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;in&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2&quot;&gt; range&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;520&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;):&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;    if&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt; i &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#56B6C2&quot;&gt;==&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt; 520&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;:&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2&quot;&gt;        print&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt;&apos;I love U!&apos;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#C678DD&quot;&gt;    else&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;:&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#0184BC;--shiki-dark:#56B6C2&quot;&gt;        print&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#50A14F;--shiki-dark:#98C379&quot;&gt;&apos;No way!&apos;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;链接&quot;&gt;链接&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;链接也有几种实现方式，常用的一种是显示链接名称而隐藏链接本体的，另一种则是直接使用链接本体。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;两者实现方法如下：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;锦鲤大王的沙漏&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-light-text-decoration:inherit;--shiki-dark:#C678DD;--shiki-dark-text-decoration:underline&quot;&gt;http://www.chen-kai.fun/&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;&amp;#x3C;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-light-text-decoration:inherit;--shiki-dark:#C678DD;--shiki-dark-text-decoration:underline&quot;&gt;http://www.chen-kai.fun/&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;http://www.chen-kai.fun/&quot;&gt;锦鲤大王的沙漏&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;http://www.chen-kai.fun/&quot;&gt;http://www.chen-kai.fun/&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;p&gt;此外，还有种高级的实现方式，将网址用变量名代替，在文档末尾再对变量赋值。实现效果类似论文引用。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;这是&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;锦鲤大王的沙漏&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;[my_website]&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;[my_website]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;: &lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-light-text-decoration:inherit;--shiki-dark:#C678DD;--shiki-dark-text-decoration:underline&quot;&gt;http://www.chen-kai.fun/&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;这是&lt;a href=&quot;http://www.chen-kai.fun/&quot;&gt;锦鲤大王的沙漏&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;图片&quot;&gt;图片&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;图片的插入方式类似于链接，有几种实现方法。&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;原生的插入方式为，先输入一个&lt;code&gt;!&lt;/code&gt;，其后再用&lt;code&gt;[]&lt;/code&gt;输入图片的名称，最后用&lt;code&gt;()&lt;/code&gt;将图片地址括起即可，这里的图片地址也可以采用变量名代替的方式，见&lt;a href=&quot;#6&quot;&gt;链接&lt;/a&gt;处的示例。值得注意的是原生的图片插入方式并不能调整图片尺寸，所以，当需要调整插入图片尺寸时请使用&lt;strong&gt;HTML&lt;/strong&gt;的&lt;code&gt;&amp;#x3C;img&gt;&lt;/code&gt;标签。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;废话不多说，直接上代码。&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;![&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;原生插入方式&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-light-text-decoration:inherit;--shiki-dark:#C678DD;--shiki-dark-text-decoration:underline&quot;&gt;https://img.trav.one/i/eeafcb79-2837-4329-a6c2-677f4a0ca772.webp&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#A626A4;--shiki-dark:#E06C75&quot;&gt;)&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;&amp;#x3C;img src=&quot;https://img.trav.one/i/eeafcb79-2837-4329-a6c2-677f4a0ca772.webp&quot; style=&quot;zoom:20%;&quot; /&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：
&lt;img src=&quot;https://img.trav.one/i/eeafcb79-2837-4329-a6c2-677f4a0ca772.webp&quot; alt=&quot;原生插入方式&quot;&gt;&lt;/p&gt;
&lt;img src=&quot;https://img.trav.one/i/eeafcb79-2837-4329-a6c2-677f4a0ca772.webp&quot; style=&quot;zoom:20%;&quot;&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;表格&quot;&gt;表格&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;中的表格实现方式类似于&lt;em&gt;&lt;strong&gt;LaTeX&lt;/strong&gt;&lt;/em&gt;中的实现方式。分割线符号&lt;code&gt;|&lt;/code&gt;用于分栏，&lt;code&gt;|---|&lt;/code&gt;用于分隔表头。&lt;code&gt;|:-|&lt;/code&gt;、&lt;code&gt;|-:|&lt;/code&gt;及&lt;code&gt;|:-:|&lt;/code&gt;分别用于定义该列左、右及居中对齐。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;| 表头 | 表脑 | 表项上 || :--- | :--: | ---: || 表脖 | 表肩 | 表锁骨 |&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;















&lt;table&gt;&lt;thead&gt;&lt;tr&gt;&lt;th align=&quot;left&quot;&gt;表头&lt;/th&gt;&lt;th align=&quot;center&quot;&gt;表脑&lt;/th&gt;&lt;th align=&quot;right&quot;&gt;表项上&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/thead&gt;&lt;tbody&gt;&lt;tr&gt;&lt;td align=&quot;left&quot;&gt;表脖&lt;/td&gt;&lt;td align=&quot;center&quot;&gt;表肩&lt;/td&gt;&lt;td align=&quot;right&quot;&gt;表锁骨&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/tbody&gt;&lt;/table&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;公式&quot;&gt;公式&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Markdown&lt;/strong&gt;中可以通过输入连续两个&lt;code&gt;$&lt;/code&gt;开启公式区块，同样通过连续的两个&lt;code&gt;$&lt;/code&gt;结束该区块。（暂时仅发现&lt;strong&gt;Typora&lt;/strong&gt;支持）对于其他笔记软件，可以选择类代码环境的输入方式。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;$$&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;v_{合} = \frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;$$&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;```math&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;v_{合} = \frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;
&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;```&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;span class=&quot;katex-display&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex&quot;&gt;&lt;span class=&quot;katex-mathml&quot;&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;合&lt;/mtext&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;∗&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;annotation encoding=&quot;application/x-tex&quot;&gt;v_{合} = \frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1*v_2}{c^2}}&lt;/annotation&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;katex-html&quot; aria-hidden=&quot;true&quot;&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.3283em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.7em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord cjk_fallback mtight&quot;&gt;合&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-s&quot;&gt;​&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.15em;&quot;&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mrel&quot;&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2778em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;base&quot;&gt;&lt;span class=&quot;strut&quot; style=&quot;height:2.2913em;vertical-align:-1.031em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mopen nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mfrac&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:1.2603em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.314em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mbin&quot;&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mspace&quot; style=&quot;margin-right:0.2222em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mord&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mopen nulldelimiter&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;mfrac&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7358em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.655em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot;&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; style=&quot;height:0.7463em;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;top:-2.786em;margin-right:0.0714em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:2.5em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size3 size1 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.23em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;frac-line&quot; style=&quot;border-bottom-width:0.04em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;top:-3.4101em;&quot;&gt;&lt;span class=&quot;pstrut&quot; style=&quot;height:3em;&quot;&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;sizing reset-size6 size3 mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mtight&quot;&gt;&lt;span class=&quot;mord mathnormal mtight&quot; style=&quot;margin-right:0.0359em;&quot;&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class=&quot;msupsub&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-t vlist-t2&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist-r&quot;&gt;&lt;span class=&quot;vlist&quot; 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&lt;p&gt;该式为狭义相对论下的合速度公式。&lt;/p&gt;
&lt;hr&gt;
&lt;h2 id=&quot;脚注&quot;&gt;脚注&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;脚注作为一种注释，可以有效的提升读者&lt;sup&gt;&lt;a href=&quot;#user-content-fn-%E5%85%88%E5%88%AB%E6%80%A5%E7%9D%80%E5%8F%8D%E5%AF%B9&quot; id=&quot;user-content-fnref-%E5%85%88%E5%88%AB%E6%80%A5%E7%9D%80%E5%8F%8D%E5%AF%B9&quot; data-footnote-ref=&quot;&quot; aria-describedby=&quot;footnote-label&quot;&gt;2&lt;/a&gt;&lt;/sup&gt;阅读时的愉悦感，是一种类似弹幕的神奇注释！&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;只需将脚注的名称的前后分别用&lt;code&gt;[^&lt;/code&gt;和&lt;code&gt;]&lt;/code&gt;括起，即可在后文中以&lt;code&gt;[^脚注名称]: 脚注内容&lt;/code&gt;的格式进行注释，鼠标移到该处脚注时，将会显示对应的内容。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;例：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;code-block&quot;&gt;&lt;figcaption class=&quot;code-block-header&quot;&gt;&lt;span class=&quot;code-lang&quot;&gt;markdown&lt;/span&gt;&lt;/figcaption&gt;&lt;pre class=&quot;astro-code astro-code-themes one-light one-dark-pro&quot; style=&quot;background-color:#FAFAFA;--shiki-dark-bg:#282c34;color:#383A42;--shiki-dark:#abb2bf; overflow-x: auto; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word;&quot; tabindex=&quot;0&quot; data-language=&quot;markdown&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;前面的Python代码写错了，导致没法输出I love U.&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#4078F2;--shiki-dark:#61AFEF&quot;&gt;^才怪&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#986801;--shiki-dark:#D19A66&quot;&gt;[^才怪]&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;color:#383A42;--shiki-dark:#ABB2BF&quot;&gt;: 是因为我就喜欢看别人失败。&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;&lt;/figure&gt;
&lt;p&gt;效果：&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;前面的Python代码写错了，导致没法输出I love U.&lt;sup&gt;&lt;a href=&quot;#user-content-fn-%E6%89%8D%E6%80%AA&quot; id=&quot;user-content-fnref-%E6%89%8D%E6%80%AA&quot; data-footnote-ref=&quot;&quot; aria-describedby=&quot;footnote-label&quot;&gt;3&lt;/a&gt;&lt;/sup&gt;&lt;/p&gt;
&lt;section data-footnotes=&quot;&quot; class=&quot;footnotes&quot;&gt;&lt;h2 class=&quot;sr-only&quot; id=&quot;footnote-label&quot;&gt;Footnotes&lt;/h2&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li id=&quot;user-content-fn-%E6%B3%A8&quot;&gt;
&lt;p&gt;在&lt;code&gt;1.&lt;/code&gt;后记得输入&lt;kbd&gt;Space&lt;/kbd&gt;再输入内容。Markdown的各类非闭合式标记，大多需要在标记后内容前输入一个&lt;kbd&gt;Space&lt;/kbd&gt;才能生效 &lt;a href=&quot;#user-content-fnref-%E6%B3%A8&quot; data-footnote-backref=&quot;&quot; aria-label=&quot;Back to reference 1&quot; class=&quot;data-footnote-backref&quot;&gt;↩&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li id=&quot;user-content-fn-%E5%85%88%E5%88%AB%E6%80%A5%E7%9D%80%E5%8F%8D%E5%AF%B9&quot;&gt;
&lt;p&gt;此处的读者仅指我自己。 &lt;a href=&quot;#user-content-fnref-%E5%85%88%E5%88%AB%E6%80%A5%E7%9D%80%E5%8F%8D%E5%AF%B9&quot; data-footnote-backref=&quot;&quot; aria-label=&quot;Back to reference 2&quot; class=&quot;data-footnote-backref&quot;&gt;↩&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li id=&quot;user-content-fn-%E6%89%8D%E6%80%AA&quot;&gt;
&lt;p&gt;是因为我就喜欢看别人失败。 &lt;a href=&quot;#user-content-fnref-%E6%89%8D%E6%80%AA&quot; data-footnote-backref=&quot;&quot; aria-label=&quot;Back to reference 3&quot; class=&quot;data-footnote-backref&quot;&gt;↩&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;/section&gt;</content:encoded></item></channel></rss>