微积分笔记

集合与映射

集合

一堆元素.

集合的运算

集合与集合运算得到另一个集合.

$$ A \oplus B=C $$

目的在于判别参与运算各集合中的元素是否属于运算结果.

算子

$A$,$B$: 任意集合

$U$: 全集

$\varnothing$: 空集

交: 同时属于两个集合的元素.

$$ A \cap B = C\\ a \in A \space and \space a \in B \\ \to a \in C $$

差: 只属于算符左侧集合的元素.

$$ A - B = C\\ a \in A \space and \space a \notin B\\ \to a \in C $$

对称差: 只属于其中一个集合的元素.

$$ A \oplus B = (A - B) + (B - A) = C\\ (a \in A \space and \space a \notin B) \space or \space (a \notin A \space and \space a \in B)\\ \to a \in C $$

并: 属于其中任意一个集合的元素.

$$ A \cup B \\ a \in A \space or \space a \in B \\ \to a \in C $$

补: 不属于某个集合的元素.

$$ \overline{A} = U - A = C \\ a \notin A \space and \space a \in U \\ \to a \in C $$

等幂律

$$ A \cap A = A \\ A \cup A = A $$

交换律

$$ A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A \\ A \oplus B = B \oplus A $$

结合律

$$ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \\ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \oplus (B \oplus C) = (A \oplus B) \oplus C $$

分配律

$$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$

同一律

$$ A \cap U = A \\ A \cup \varnothing = A \\ A - \varnothing = A \\ A \oplus \varnothing = A $$

零一律

$$ A \cap \varnothing = \varnothing \\ A \cup U = U $$

补余律

$$ A \cap \overline{A} = \varnothing \\ A \cup \overline{A} = U $$

吸收律

$$ A \cup (A \cap B) = A \\ A \cap (A \cup B) = A $$

De Morgan律

$$ A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C) \\ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \\ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \\ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \\ \overline{\varnothing} = U \\ \overline{U} = \varnothing $$

双重否定律

$$ \overline{\overline{A}} = A $$

映射

一堆元素与一堆元素的对应关系.


数列与级数

数列

按顺序排列的一列数, 每项是一个数.

数列的极限

唯一性

若数列存在极限, 则其极限必唯一.

有界性

若数列存在极限, 则该数列必有界.

保号性

设数列$\{a_{n}\}$存在极限$a$, 且$a>0$, 则存在正整数$N$, 当$n>N$时有$a_n>0$.

若数列极限在原点某侧, 则在项数足够大时, 其后所有项的符号均位于极限同侧.

敛散性

数列收敛

必要条件: 有界.

充分条件: 单调有界.

区间套定理

存在区间序列满足每个区间都包含于前一个区间内, 且区间端点之差趋近零, 则存在唯一一点$x_0$包含于该序列所有区间内.

聚点原理

有界数列必存在收敛的子数列.

柯西收敛原理

数列$\{a_n\}$收敛的充要条件为: 对任给$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$, 使得对所有满足$m>N, n>N$的$m, n$有$|a_m-a_n|<\varepsilon$.

级数

按顺序排列的一列数, 但每项都是一列数之和.

正项级数
比值判别法
根值判别法
交错级数

正负项交错出现的级数.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\\ a_n>0,n\in\Bbb{N}^{+} $$

莱布尼兹判别法
变号级数

符号会发生改变的级数.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\\ a_n \in \Bbb{R} $$

若其对应的正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$通过比值或根值判别法判断发散, 则原级数发散.

若正项级数收敛, 则原级数必收敛.

若正项级数发散而原级数收敛, 则称该变号级数条件收敛. 若正项级数和原级数同时收敛, 则称该变号级数绝对收敛.

性质

可交换性

绝对收敛的级数交换其前后项的位置, 结果仍绝对收敛.

乘法

两个绝对收敛的级数其各项乘积所得级数和$\sum\limits_{i,j=1}^{\infty}a_{i}b_{j}$仍绝对收敛, 且和等于原级数收敛和的乘积.

柯西乘积

在绝对收敛的条件下,有

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}b_{1}+a_{n-1}b_{2}+...+a_{1}b_{n}) $$

应用:

已知$q<1$时, 几何乘积$\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n}$绝对收敛.

则有:

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n} \\ \because \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \frac{1}{1-q} \\ \therefore \frac{1}{(1-q)^{2}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n} $$

敛散性判别

收敛必要条件: 级数通项极限为零.

一般性流程
  1. 判断通项极限是否为零, 若不为零, 级数发散.
  2. 判断是否为正项级数, 若为正项级数, 采用比较判别法(不等式与极限形式), 根值判别法, 比值判别法判断敛散性.
  3. 判断是否为交错级数$\sum(-1)^{n-1}u_{n}$, 若$u_{n}$单调下降, 则原级数收敛.
  4. 利用级数运算性质和其他判别法.
柯西收敛原理

附录

三角不等式:

$$ ||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b| $$

三角形两边之差小于等于第三边, 两边之和大于等于第三边(等号成立时, 三边共线).

本作品采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。知识共享许可协议
Say something...